L’espace vectoriel


Du latin spatium, l’espace peut être l’extension qui contient la matière existante, la capacité d’un lieu ou la partie qui occupe un objet sensible. Par contre, le vectoriel est celui qui appartient aux vecteurs ou qui s’ y rapporte. Ce terme, d’origine latine, désigne l’agent qui transporte quelque chose d’un endroit à un autre ou à celui qui permet de représenter une magnitude physique et qui est défini par un module et une adresse ou une orientation. La notion d’espace vectoriel est utilisée pour nommer la structure mathématique qui est créée à partir d’un ensemble non vide et qui répond à diverses exigences et propriétés initiales. Cette structure se produit au moyen d’une opération de synthèse (interne au sous-ensemble) et d’une opération de produit entre ce sous-ensemble et un corps. Il est important de garder à l’esprit que chaque espace vectoriel a une base et que toutes les bases d’un espace vectoriel, à leur tour, ont la même cardinalité. C’est à partir du XVIIe siècle que les chercheurs ont commencé à se diriger vers la conception d’espaces vectoriels, avec des thèmes tels que les matrices, les systèmes d’équations linéaires et la géométrie analytique. Ce concept dérive de la géométrie connexe (étude des propriétés géométriques qui ne varient pas avec les transformations connexes, telles que les traductions ou les linéaires non-uniques), lors de la saisie de coordonnées dans l’espace tridimensionnel ou dans le plan.

Vers 1636, Descartes et Fermat (océans scientifiques originaires de France) établissent les fondements de la géométrie analytique, en prenant une équation à deux variables et en reliant leurs solutions à la détermination d’une courbe plate.

Afin de parvenir à une solution dans les limites de la géométrie sans avoir recours à des coordonnées, le mathématicien tchèque Bernard Bolzano a présenté un siècle et demi plus tard quelques opérations sur les plans, lignes et points qui peuvent être considérés comme les prédécesseurs des vecteurs. Toutefois, ce n’est pas avant la fin du XIXe siècle que Giuseppe Peano, un mathématicien italien bien connu, a fait la première moderne et axiomatique formulation des espaces vectoriels. Cette théorie a ensuite été enrichie par la branche des mathématiques dites d’analyse fonctionnelle, plus précisément des espaces fonctionnels. Afin de résoudre les problèmes d’analyse fonctionnelle posés par le phénomène connu sous le nom de limite d’une succession ou d’une convergence, des espaces vectoriels ont été assignés à une topologie appropriée, afin que la continuité et la proximité puissent être prises en compte. Il convient de mentionner que les vecteurs en tant que concept sont nés avec le bipoint de Giusto Bellavitis, un segment orienté qui a une origine extrême appelée et une autre, objective. Plus tard, elle a été prise en compte lorsque Argand et Hamilton ont présenté les nombres complexes et que ce dernier a créé les quaternions, en plus d’être celui qui a conçu la dénomination vectorielle. Laguerre, pour sa part, a été responsable de la définition des systèmes d’équations linéaires et de la combinaison linéaire vectorielle. Toujours dans la seconde moitié du XIXe siècle, un mathématicien britannique nommé Arthur Cayley a présenté la notation matricielle, grâce à laquelle les applications linéaires peuvent être harmonisées et simplifiées.

Presque cent ans plus tard, il y avait une interaction entre l’analyse fonctionnelle et l’algèbre, principalement avec des concepts aussi importants que les espaces de Hilbert et ceux des fonctions p-intégrables. Les applications des espaces vectoriels comprennent certaines fonctions de compression du son et de l’image, qui sont basées sur la série de Fourier et d’autres méthodes, et la résolution des équations dans les dérivées partielles (relier une fonction mathématique avec différentes variables indépendantes et dérivées partielles de la même chose par rapport à ces variables).

D’autre part, ils sont utilisés pour le traitement d’objets physiques et géométriques, tels que les tendeurs.

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *